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A teoria axiomática de Kolmogorov estabelece a base para o tratamento rigoroso de qualquer fenômeno aleatório. Todo experimento probabilístico ocorre dentro de um espaço formalmente definido.

1.1 Espaço de Probabilidade $(\Omega, \mathcal{A}, P)$

Um Espaço de Probabilidade é uma tripla constituída por:

1. $\Omega$ (Espaço Amostral): O conjunto de todos os resultados possíveis do experimento.

2. $\mathcal{A}$ ($\sigma$-álgebra): Uma coleção não-vazia de subconjuntos de $\Omega$ (chamados de eventos aleatórios) que atende às seguintes propriedades:

• Fechamento por complementar: Se $A \in \mathcal{A} \implies A^c \in \mathcal{A}$.
• Fechamento por união enumerável: Se $A_1, A_2, \dots \in \mathcal{A} \implies \bigcup_{i=1}^\infty A_i \in \mathcal{A}$.
• Consequências: Como $\Omega \in \mathcal{A}$, seu complementar $\Omega^c = \emptyset \in \mathcal{A}$. O fechamento por interseção enumerável também segue da Lei de De Morgan: $\bigcap_{i=1}^\infty A_i = \left( \bigcup_{i=1}^\infty A_i^c \right)^c \in \mathcal{A}$.

3. $P$ (Medida de Probabilidade): Uma função-conjunto $P: \mathcal{A} \to \mathbb{R}$ que mapeia cada evento a um número real, satisfazendo os três Axiomas de Kolmogorov:

• Não-negatividade: $P(A) \ge 0, \quad \forall A \in \mathcal{A}$.
• Normalização: $P(\Omega) = 1$.
• $\sigma$-aditividade: Para qualquer sequência de eventos mutuamente exclusivos (disjuntos dois a dois), $A_1, A_2, \dots \in \mathcal{A}$ tais que $A_i \cap A_j = \emptyset$ para $i \ne j$:

     $$P\left( \bigcup_{i=1}^\infty A_i \right) = \sum_{i=1}^\infty P(A_i)$$

1.2 Definição de Variável Aleatória (v.a.) e Função de Distribuição Acumulada (CDF)

Uma Variável Aleatória $X$ é uma função mensurável que mapeia o espaço amostral $\Omega$ para a reta real $\mathbb{R}$:

$$X: \Omega \to \mathbb{R}$$

Para que $X$ seja formalmente uma variável aleatória, exige-se que a imagem inversa de qualquer intervalo da reta real pertença à $\sigma$-álgebra $\mathcal{A}$ de eventos. A condição canônica é:

$$\{X \le x\} = \{\omega \in \Omega : X(\omega) \le x\} \in \mathcal{A}, \quad \forall x \in \mathbb{R}$$

#### Função de Distribuição Acumulada (CDF)

Define-se a CDF de $X$ como a função $F_X: \mathbb{R} \to [0, 1]$ dada por:

$$F_X(x) = P(X \le x) = P(\{\omega \in \Omega : X(\omega) \le x\}), \quad \forall x \in \mathbb{R}$$

Propriedades Fundamentais da CDF $F_X$:

1. Monotonicidade: $F_X$ é monótona não-decrescente ($x_1 < x_2 \implies F_X(x_1) \le F_X(x_2)$).
2. Continuidade pela Direita: $\lim_{t \to x^+} F_X(t) = F_X(x), \quad \forall x \in \mathbb{R}$.
3. Limites Assintóticos: $\lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0$ e $\lim_{x \to +\infty} F_X(x) = 1$.
4. Cálculo de Probabilidades em Intervalos:

• $P(a < X \le b)$ : $$P(a < X \le b) = F_X(b) - F_X(a), \quad \forall a < b$$
• $P(X = a) = F_X(a) - F_X(a^-)$, onde $F_X(a^-) = \lim_{x \to a^-} F_X(x)$ é o limite à esquerda em $a$. $P(X=a)$ representa exatamente o tamanho da descontinuidade (salto) de $F_X$ em $a$.

1.3 Variáveis Aleatórias Discretas

Uma v.a. $X$ é dita discreta se assume valores em um conjunto enumerável (finito ou infinito enumerável) $\{x_1, x_2, \dots\} \subset \mathbb{R}$, de modo que:

$$\sum_{i=1}^\infty P(X = x_i) = 1$$

• Função de Probabilidade (PMF): Define a massa pontual de probabilidade em cada valor do suporte:

  $$p_X(x) = P(X = x), \quad \forall x \in \mathbb{R}$$

• Cálculo de Probabilidade de Conjuntos: Para qualquer subconjunto Boreliano $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$:

  $$P(X \in B) = \sum_{i : x_i \in B} p_X(x_i)$$

• Construção da CDF a partir da PMF:

  $$F_X(x) = P(X \le x) = \sum_{i : x_i \le x} p_X(x_i)$$

  Reciprocamente, recuperam-se as massas pontuais através dos saltos da CDF: $p_X(x) = F_X(x) - F_X(x^-)$.

1.4 Variáveis Aleatórias Absolutamente Contínuas

Uma v.a. $X$ é dita absolutamente contínua se sua função de distribuição $F_X(x)$ é contínua em toda a reta e se existe uma função integrável e não-negativa $f_X: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ (Função de Densidade de Probabilidade - PDF) tal que:

$$F_X(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^x f_X(u) \, du, \quad \forall x \in \mathbb{R}$$

Consequências Diretas e Propriedades:

1. Probabilidade Pontual Nula: Como $F_X$ é contínua, não existem saltos. Assim, $F_X(x) = F_X(x^-)$, o que implica:

   $$P(X = x) = 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}$$

   Portanto, $$P(a < X < b) = P(a \le X < b) = P(a < X \le b) = P(a \le X \le b) = \int_a^b f_X(x) \, dx$$

2. Normalização: A área total sob a curva de densidade deve ser igual a 1:

   $$\int_{-\infty}^\infty f_X(x) \, dx = 1$$

3. Obtenção da Densidade a partir da CDF: Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, nos pontos em que $F_X$ é derivável:

   $$f_X(x) = \frac{d}{dx} F_X(x) = F_X'(x)$$