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Este não é um livro oficial e tão pouco está vinculado a Universidade de Brasília e ao departamento de Estatística. Os conteúdos foram gerados por Inteligência Artificial para testes. Pode conter erros.

A distribuição de Bernoulli é uma distribuição de probabilidade discreta que modela um experimento aleatório com exatamente dois resultados possíveis e mutuamente exclusivos, convencionalmente chamados de "sucesso" (representado pelo valor 1) e "fracasso" (representado pelo valor 0).

• Parâmetro: $p$ (probabilidade de sucesso), onde $0 \le p \le 1$.
• Probabilidade de fracasso: $1 - p$ (frequentemente denotada como $q$).
• Função de Probabilidade (PMF):
  
  
  $$P(X = x) = p^x (1-p)^{1-x}$$
  para $x \in \{0, 1\}$.

Prova da Esperança (Valor Esperado)

A esperança matemática $E[X]$ para uma variável aleatória discreta é definida como a soma do produto de cada valor possível pela sua respectiva probabilidade.

1. Fórmula geral:
   
   
   $$E[X] = \sum_{x} x P(X=x)$$
2. Substituição para o domínio de Bernoulli ($x \in \{0, 1\}$):
   
   
   $$E[X] = (0 \cdot P(X=0)) + (1 \cdot P(X=1))$$
3. Aplicação das probabilidades teóricas:
   
   
   $$E[X] = (0 \cdot (1-p)) + (1 \cdot p)$$
4. Resolução:
   
   
   $$E[X] = 0 + p$$
   $$E[X] = p$$

Prova da Variância

A variância $Var(X)$ quantifica a dispersão dos valores em relação à esperança. A fórmula computacional padrão é $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$.

1. Cálculo do segundo momento $E[X^2]$:
   
   
   $$E[X^2] = \sum_{x} x^2 P(X=x)$$
2. Substituição para o domínio de Bernoulli:
   
   
   $$E[X^2] = (0^2 \cdot P(X=0)) + (1^2 \cdot P(X=1))$$
3. Aplicação das probabilidades teóricas:
   
   
   $$E[X^2] = (0 \cdot (1-p)) + (1 \cdot p)$$
   $$E[X^2] = p$$
4. Substituição na fórmula da variância (sabendo que $E[X] = p$):
   
   
   $$Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$$
   $$Var(X) = p - p^2$$
5. Fatoração do resultado:
   
   
   $$Var(X) = p(1-p)$$

Limitações da Solução

• Restrição a um único evento: A distribuição de Bernoulli descreve estritamente a probabilidade de um único experimento (tentativa isolada).
• Ausência de histórico: Não pode ser utilizada para modelar a soma de sucessos em múltiplos experimentos. Caso haja $n$ experimentos independentes e idênticos, a limitação é contornada utilizando a Distribuição Binomial (que é a soma de $n$ variáveis de Bernoulli independentes).

A distribuição Binomial modela o número de sucessos em uma sequência de $n$ experimentos de Bernoulli independentes, onde cada experimento tem a mesma probabilidade de sucesso.

• Parâmetros: $n$ (número de tentativas, $n \in \mathbb{N}$) e $p$ (probabilidade de sucesso em cada tentativa, $0 \le p \le 1$).
• Função de Probabilidade (PMF):
  $$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$
  para $k \in \{0, 1, 2, \dots, n\}$, onde $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Prova da Esperança Matemática

A prova a seguir utiliza manipulação algébrica direta da definição de esperança, baseando-se na propriedade das combinações e mudança de índice.

1. Definição:
   
   
   $$E[X] = \sum_{k=0}^{n} k \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$
2. Eliminação do termo zero e expansão do binomial:
   Para $k = 0$, o termo é nulo. Inicia-se em $k = 1$.
   
   
   $$E[X] = \sum_{k=1}^{n} k \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k (1-p)^{n-k}$$
3. Simplificação do fatorial ($k! = k \cdot (k-1)!$):
   
   
   $$E[X] = \sum_{k=1}^{n} \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} p^k (1-p)^{n-k}$$
4. Extração das constantes $n$ e $p$:
   
   
   $$E[X] = np \sum_{k=1}^{n} \frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!} p^{k-1} (1-p)^{n-k}$$
5. Mudança de variável ($j = k - 1$):
   Os limites passam de $j = 0$ até $n-1$, e $n-k$ torna-se $(n-1)-j$.
   
   
   $$E[X] = np \sum_{j=0}^{n-1} \binom{n-1}{j} p^j (1-p)^{(n-1)-j}$$
6. Aplicação do Binômio de Newton:
   O somatório representa o desenvolvimento de $(p + (1-p))^{n-1}$, que é $1^{n-1} = 1$.
   
   
   $$E[X] = np(1)$$
   $$E[X] = np$$

Prova da Variância (Método Algébrico Direto)

Para evitar a técnica de esperança fatorial $E[X(X-1)]$, a prova calcula $E[X^2]$ manipulando a expressão diretamente.

1. Definição do segundo momento:
   
   
   $$E[X^2] = \sum_{k=0}^{n} k^2 \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$
2. Separação de $k^2$ em $k \cdot k$ e simplificação de um $k$ com o denominador (como feito na esperança):
   
   
   $$E[X^2] = \sum_{k=1}^{n} k \left( n \binom{n-1}{k-1} \right) p^k (1-p)^{n-k}$$
3. Extração de $n$ e $p$ e mudança de variável ($j = k - 1 \implies k = j + 1$):
   
   
   $$E[X^2] = np \sum_{j=0}^{n-1} (j+1) \binom{n-1}{j} p^j (1-p)^{(n-1)-j}$$
4. Distribuição do termo $(j+1)$ no somatório:
   
   
   $$E[X^2] = np \left[ \sum_{j=0}^{n-1} j \binom{n-1}{j} p^j (1-p)^{(n-1)-j} + \sum_{j=0}^{n-1} \binom{n-1}{j} p^j (1-p)^{(n-1)-j} \right]$$
5. Resolução dos somatórios isolados:
   
   
6. • O primeiro somatório é idêntico à fórmula da esperança demonstrada acima, mas para um tamanho de amostra $n-1$. Seu resultado é $(n-1)p$.
   • O segundo somatório é a soma das probabilidades de uma distribuição Binomial de tamanho $n-1$. Pelo Binômio de Newton, seu resultado é $1$.
6. Substituição dos resultados:
   
   
   $$E[X^2] = np [ (n-1)p + 1 ]$$
   $$E[X^2] = np(np - p + 1)$$
   $$E[X^2] = n^2p^2 - np^2 + np$$
7. Cálculo final da variância ($Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$):
   
   
   $$Var(X) = (n^2p^2 - np^2 + np) - (np)^2$$
   $$Var(X) = - np^2 + np$$
   $$Var(X) = np(1-p)$$

Limitações da Solução

• Premissa de Independência: A fórmula só é válida se os $n$ experimentos forem estritamente independentes. O resultado de uma tentativa não pode alterar a probabilidade das demais.
• Probabilidade Constante: A probabilidade $p$ deve permanecer idêntica em todas as tentativas.
• Inadequada para populações finitas sem reposição: Se a amostragem for feita sem reposição em um grupo pequeno, a probabilidade $p$ se altera a cada tentativa. Nesse cenário, o modelo matemático correto exige o uso da Distribuição Hipergeométrica.

A distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta que modela a probabilidade de um número específico de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo ou espaço.

• Parâmetro: $\lambda$ (taxa média de ocorrência no intervalo, onde $\lambda > 0$).
• Função de Probabilidade (PMF):
  
  
  $$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$$
  para $k \in \{0, 1, 2, \dots\}$.

Prova da Esperança Matemática

A prova a seguir baseia-se na definição de esperança e na expansão da série de Taylor para a função exponencial ($e^x = \sum \frac{x^n}{n!}$).

1. Definição:
   
   
   $$E[X] = \sum_{k=0}^{\infty} k \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$$
2. Eliminação do termo zero:
   Para $k = 0$, o produto é zero. O somatório inicia em $k = 1$.
   
   
   $$E[X] = \sum_{k=1}^{\infty} k \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$$
3. Simplificação do fatorial ($k! = k \cdot (k-1)!$):
   
   
   $$E[X] = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{(k-1)!}$$
4. Extração das constantes $\lambda$ e $e^{-\lambda}$:
   
   
   $$E[X] = \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}$$
5. Mudança de variável ($j = k - 1$):
   Os limites passam de $j = 0$ até $\infty$.
   
   
   $$E[X] = \lambda e^{-\lambda} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{\lambda^j}{j!}$$
6. Aplicação da série de Taylor:
   O somatório é a definição exata da expansão em série de $e^\lambda$.
   
   
   $$E[X] = \lambda e^{-\lambda} e^{\lambda}$$
   $$E[X] = \lambda e^{0}$$
   $$E[X] = \lambda$$

Prova da Variância (Método Algébrico Direto)

O cálculo do segundo momento $E[X^2]$ é feito por manipulação algébrica direta, sem utilizar a esperança fatorial $E[X(X-1)]$.

1. Definição do segundo momento:
   
   
   $$E[X^2] = \sum_{k=0}^{\infty} k^2 \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$$
2. Eliminação do termo zero e separação de $k^2$ em $k \cdot k$:
   
   
   $$E[X^2] = \sum_{k=1}^{\infty} k \left( k \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \right)$$
3. Simplificação do primeiro $k$ com o fatorial ($k! = k \cdot (k-1)!$):
   
   
   $$E[X^2] = \sum_{k=1}^{\infty} k \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{(k-1)!}$$
4. Extração de $\lambda$ e mudança de variável ($j = k - 1 \implies k = j + 1$):
   
   
   $$E[X^2] = \lambda \sum_{j=0}^{\infty} (j+1) \frac{e^{-\lambda} \lambda^j}{j!}$$
5. Distribuição do termo $(j+1)$ no somatório:
   
   
   $$E[X^2] = \lambda \left[ \sum_{j=0}^{\infty} j \frac{e^{-\lambda} \lambda^j}{j!} + \sum_{j=0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda} \lambda^j}{j!} \right]$$
6. Resolução dos somatórios isolados:
   
   
7. • O primeiro somatório é idêntico à fórmula da definição de esperança $E[X]$ provada na seção anterior. Seu resultado é $\lambda$.
   • O segundo somatório representa a soma de todas as probabilidades de uma distribuição de Poisson. Por definição, a soma do espaço amostral é $1$.
7. Substituição dos resultados e cálculo final:
   
   
   $$E[X^2] = \lambda [ \lambda + 1 ]$$
   $$E[X^2] = \lambda^2 + \lambda$$
8. Cálculo da variância ($Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$):
   
   
   $$Var(X) = (\lambda^2 + \lambda) - (\lambda)^2$$
   $$Var(X) = \lambda$$

Limitações da Solução

• Premissa de Independência Estrita: A ocorrência de um evento não pode afetar a probabilidade de ocorrência de outro evento subsequente no mesmo intervalo.
• Taxa Constante: O parâmetro $\lambda$ assume que a taxa de ocorrência é constante e homogênea ao longo de todo o intervalo medido.
• Restrição de Simultaneidade: O modelo falha se houver a possibilidade real de dois ou mais eventos ocorrerem exatamente no mesmo instante espacial ou temporal.
• Equidispersão Obrigatória: A distribuição impõe matematicamente que a variância seja igual à média. Se os dados empíricos apresentarem sobredispersão (variância maior que a média), a distribuição de Poisson torna-se inadequada e modelos alternativos, como a Distribuição Binomial Negativa, devem ser adotados.

Para demonstrar que a soma de duas variáveis aleatórias (v.a.) independentes com distribuição de Poisson resulta em uma nova variável também com distribuição de Poisson, utilizamos o método da convolução discreta. Aqui está a demonstração matemática detalhada, passo a passo.

1. Definição das Variáveis

Sejam $X$ e $Y$ duas variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson, onde:

• $X \sim \text{Poisson}(\lambda_1)$
• $Y \sim \text{Poisson}(\lambda_2)$

A função de probabilidade para cada uma é dada pela fórmula padrão de Poisson:

$$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda_1} \lambda_1^k}{k!}, \quad \text{para } k = 0, 1, 2, \dots$$

$$P(Y = j) = \frac{e^{-\lambda_2} \lambda_2^j}{j!}, \quad \text{para } j = 0, 1, 2, \dots$$

2. Definindo a Soma

Queremos encontrar a distribuição da nova variável $Z = X + Y$. Para descobrir isso, precisamos calcular a probabilidade de $Z$ assumir um valor específico $n$, ou seja, $P(Z = n)$. Como $X$ e $Y$ só assumem valores inteiros não negativos, para que a soma $X + Y$ seja igual a $n$, se $X$ assumir um valor $k$, obrigatoriamente $Y$ deve assumir o valor $n - k$. Como $Y$ não pode ser negativo ($n - k \ge 0$), o valor máximo que $k$ pode assumir é $n$. Portanto, devemos somar as probabilidades de todas as combinações possíveis de $k$ variando de $0$ até $n$.

3. A Convolução

Devido à independência entre $X$ e $Y$, a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades marginais:

• $$P(Z = n) = \sum_{k=0}^{n} P(X = k \text{ e } Y = n - k)$$
• $$P(Z = n) = \sum_{k=0}^{n} P(X = k) \cdot P(Y = n - k)$$

4. Substituição das Fórmulas

Agora, substituímos as funções de probabilidade de Poisson na nossa equação:

$$P(Z = n) = \sum_{k=0}^{n} \left( \frac{e^{-\lambda_1} \lambda_1^k}{k!} \right) \cdot \left( \frac{e^{-\lambda_2} \lambda_2^{n-k}}{(n-k)!} \right)$$

5. Manipulação Algébrica

Podemos reorganizar os termos da equação acima. Note que as bases naturais $e^{-\lambda_1}$ e $e^{-\lambda_2}$ são constantes em relação ao índice $k$. Logo, podemos agrupá-las e fatorá-las para fora do somatório:

$$P(Z = n) = e^{-\lambda_1} e^{-\lambda_2} \sum_{k=0}^{n} \frac{\lambda_1^k \lambda_2^{n-k}}{k!(n-k)!}$$

Usando propriedades de potências ($e^a \cdot e^b = e^{a+b}$):

$$P(Z = n) = e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \sum_{k=0}^{n} \frac{\lambda_1^k \lambda_2^{n-k}}{k!(n-k)!}$$

Para resolver esse somatório, usamos um "truque" matemático simples: **multiplicamos e dividimos toda a expressão por $n!$**. Isso não altera o valor da equação, mas nos permite formar um coeficiente binomial.

$$P(Z = n) = \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{n!} \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!} \lambda_1^k \lambda_2^{n-k}$$

6. Aplicação do Teorema Binomial

O termo $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ é exatamente a definição de uma combinação, representada pelo coeficiente binomial $\binom{n}{k}$. Substituindo isso na equação, temos:

$$P(Z = n) = \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{n!} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \lambda_1^k \lambda_2^{n-k}$$

Neste ponto, aplicamos o **Teorema Binomial de Newton**, que estabelece que:

$$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k} = (a + b)^n$$

No nosso caso, substituímos $a$ por $\lambda_1$ e $b$ por $\lambda_2$. Todo o somatório se reduz a:

$$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \lambda_1^k \lambda_2^{n-k} = (\lambda_1 + \lambda_2)^n$$

7. Resultado Final

Substituindo o resultado do Binômio de Newton de volta na nossa equação principal, chegamos a:

$$P(Z = n) = \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} (\lambda_1 + \lambda_2)^n}{n!}$$

A expressão que acabamos de encontrar é exatamente a função de probabilidade de uma variável aleatória de Poisson, mas cujo parâmetro (a média) é a soma das médias originais: $(\lambda_1 + \lambda_2)$. Portanto, está demonstrado que: Se $X \sim \text{Poisson}(\lambda_1)$ e $Y \sim \text{Poisson}(\lambda_2)$ são independentes, então $X + Y \sim \text{Poisson}(\lambda_1 + \lambda_2)$.

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