Livro

Fundamentos da Amostragem Aleatória Simples sem Reposição ($AAS_s$)

• Definição da Variável Indicadora ($f_i$):
  Em uma $AAS_s$, cada elemento da população pode aparecer no máximo uma vez na amostra. O número de vezes que o elemento $i$ aparece na amostra é representado por $f_i$, que segue uma distribuição de Bernoulli:
  $$f_i \sim b\left(1; \frac{n}{N}\right)$$
• Parâmetros da Indicadora:
  $$P(f_i = 1) = \frac{n}{N}$$
  $$P(f_i = 0) = 1 - \frac{n}{N}$$
  $$E(f_i) = \frac{n}{N}$$
  $$\operatorname{Var}(f_i) = \frac{n}{N}\left(1 - \frac{n}{N}\right)$$
• Probabilidade e Covariância Conjunta:
  $$\pi_{ij} = P(f_i = 1 \cap f_j = 1) = \frac{n}{N} \cdot \frac{n-1}{N-1}$$
  $$\operatorname{Cov}(f_i, f_j) = \frac{-n(N-n)}{N^2(N-1)}$$

• Estimador da Média Populacional ($\bar{y}$):
  $$\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i = \hat{\mu}$$
• Demonstração do Não-Viesamento ($E(\bar{y}) = \bar{Y}$):
  Sabendo que o somatório amostral do total é $t = \sum_{i=1}^N f_i Y_i$ e que $\bar{y} = \frac{t}{n}$:
  $$E(t) = E\left(\sum_{i=1}^N f_i Y_i\right)$$
  $$E(t) = \sum_{i=1}^N Y_i E(f_i)$$
  $$E(t) = \frac{n}{N} \sum_{i=1}^N Y_i$$
  $$E(t) = n\mu = T$$
  Aplicando na média amostral:
  $$E(\bar{y}) = E\left(\frac{t}{n}\right)$$
  $$E(\bar{y}) = \frac{1}{n} E(t)$$
  $$E(\bar{y}) = \frac{1}{n} (n\mu)$$
  $$E(\bar{y}) = \mu = \bar{Y}$$
• Variância do Estimador da Média ($\operatorname{Var}(\bar{y})$):
  $$\operatorname{Var}(\bar{y}) = \operatorname{Var}\left(\frac{t}{n}\right)$$
  $$\operatorname{Var}(\bar{y}) = \frac{1}{n^2} \operatorname{Var}(t)$$
  $$\operatorname{Var}(\bar{y}) = \frac{1}{n^2} \left[ n(1-f)S^2 \right]$$
  $$\operatorname{Var}(\bar{y}) = (1 - f)\frac{S^2}{n}$$
  onde $f = \frac{n}{N}$ é a fração de seleção. Em função de $\sigma^2$:
  $$\operatorname{Var}(\bar{y}) = \frac{N - n}{N - 1} \frac{\sigma^2}{n}$$

• Estimador do Total Populacional ($\hat{t}$):
  $$\hat{t} = N\bar{y} = \frac{N}{n} t$$
• Demonstração do Não-Viesamento ($E(\hat{t}) = T$):
  $$E(\hat{t}) = E(N\bar{y})$$
  $$E(\hat{t}) = N \cdot E(\bar{y})$$
  $$E(\hat{t}) = N \cdot \bar{Y}$$
  $$E(\hat{t}) = N \cdot \mu = T$$
• Variância do Estimador do Total ($\operatorname{Var}(\hat{t})$):
  $$\operatorname{Var}(\hat{t}) = \operatorname{Var}(N\bar{y})$$
  $$\operatorname{Var}(\hat{t}) = N^2 \operatorname{Var}(\bar{y})$$
  $$\operatorname{Var}(\hat{t}) = N^2 (1 - f)\frac{S^2}{n}$$
  Em função de $\sigma^2$:
  $$\operatorname{Var}(\hat{t}) = N^2 \left(\frac{N - n}{N - 1}\right) \frac{\sigma^2}{n}$$

O termo $\frac{N - n}{N - 1}$ (ou $1 - f$) é denominado Correção para Populações Finitas (Finite Population Correction - FPC). Quando $N$ é muito grande em comparação com $n$, o FPC tende a 1.

Em uma população com $N=6$, e valores $Y=\{8,3,1,11,4,7\}$, calcule a média amostral $\bar{y}$ para todas as amostras aleatórias simples sem reposição possíveis de tamanho $n=2$. Verifique que $\bar{y}$ é não viesada para $\bar{Y}$.

1. Identificação dos Parâmetros

• População ordenada: $Y = \{1, 3, 4, 7, 8, 11\}$
• Tamanho da população ($N$): $6$
• Tamanho da amostra ($n$): $2$
• Número total de amostras possíveis (AASs):
  
  
  $$\binom{6}{2} = \frac{6!}{4!2!}$$
  $$\binom{6}{2} = 15$$
• Média populacional ($\bar{Y}$):
  
  
  $$\bar{Y} = \frac{1 + 3 + 4 + 7 + 8 + 11}{6}$$
  $$\bar{Y} = \frac{34}{6}$$
  $$\bar{Y} \approx 5,6667$$

2. Tabela Consolidada das Amostras e Verificação Empírica

• Média das médias amostrais:
  
  
  $$\frac{1}{15} \sum_{i=1}^{15} \bar{y}_i = \frac{2,0 + 2,5 + 4,0 + 4,5 + 6,0 + 3,5 + 5,0 + 5,5 + 7,0 + 5,5 + 6,0 + 7,5 + 7,5 + 9,0 + 9,5}{15}$$
  $$\frac{1}{15} \sum_{i=1}^{15} \bar{y}_i = \frac{85}{15}$$
  $$\frac{85}{15} = \frac{34}{6}$$
  $$\frac{34}{6} \approx 5,6667$$
• Constatação empírica: $E(\bar{y}) = \bar{Y}$, comprovando que o estimador não é viesado para esta população.

3. Demonstração Analítica da Não-Viesabilidade

• Definição da Variável Indicadora: Seja $I_j$ uma variável aleatória para cada unidade populacional $j$ ($j = 1, 2, \dots, N$):
  
  
  $$I_j = \begin{cases} 1, & \text{se a unidade } j \text{ pertence à amostra } s \\ 0, & \text{caso contrário} \end{cases}$$
• Formulação da Média Amostral: A média amostral $\bar{y}$ é expressa somando sobre todos os $N$ elementos da população com o auxílio das indicadoras:
  
  
  $$\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^N I_j Y_j$$
• Aplicação do Operador Esperança: Aplicando a linearidade da esperança matemática em ambos os lados:
  
  
  $$E(\bar{y}) = E\left( \frac{1}{n} \sum_{j=1}^N I_j Y_j \right)$$
  $$E(\bar{y}) = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^N E(I_j) Y_j$$
• Resolução Final: Substituindo a probabilidade de inclusão $E(I_j) = \frac{n}{N}$:
  
  
  $$E(\bar{y}) = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^N \left( \frac{n}{N} \right) Y_j$$
  $$E(\bar{y}) = \frac{1}{n} \cdot \frac{n}{N} \sum_{j=1}^N Y_j$$
  $$E(\bar{y}) = \frac{1}{N} \sum_{j=1}^N Y_j$$
  $$E(\bar{y}) = \bar{Y}$$

4. Demonstração da Esperança da Indicadora ($E(I_j)$)

• Propriedade da Esperança: Como $I_j$ é uma variável de Bernoulli, sua esperança matemática coincide com a probabilidade de o evento ocorrer:
  
  
  $$E(I_j) = 1 \cdot P(I_j = 1) + 0 \cdot P(I_j = 0)$$
  $$E(I_j) = P(I_j = 1)$$
• Cálculo da Probabilidade de Inclusão ($P(I_j = 1)$):
  
  
• • O total de combinações possíveis de amostras de tamanho $n$ em uma população de tamanho $N$ (sem reposição) é $\binom{N}{n}$.
  • O número de combinações que fixam um elemento específico $j$ na amostra é $\binom{N-1}{n-1}$.
  • Razão de probabilidade:
    
    
    $$P(I_j = 1) = \frac{\binom{N-1}{n-1}}{\binom{N}{n}}$$
• Desenvolvimento Algébrico:
  
  
  $$\frac{\frac{(N-1)!}{(n-1)!(N-n)!}}{\frac{N!}{n!(N-n)!}} = \frac{(N-1)!}{(n-1)!} \cdot \frac{n!}{N!}$$
• Reorganizando e simplificando as razões fatoriais:
  
  
  $$\left(\frac{(N-1)!}{N!}\right) \cdot \left(\frac{n!}{(n-1)!}\right) = \frac{1}{N} \cdot n$$
  $$\frac{1}{N} \cdot n = \frac{n}{N}$$
  $$E(I_j) = \frac{n}{N}$$

Em uma população com $N=6$, e valores $Y=\{8,3,1,11,4,7\}$ (ordenados como $Y=\{1, 3, 4, 7, 8, 11\}$), calcule a variância amostral $s^2$ para todas as amostras aleatórias simples sem reposição possíveis de tamanho $n=3$. Verifique que $E(s^2) = S^2$.

1. Tabela Consolidada das Amostras e Valores Auxiliares

Utilizando a fórmula computacional da variância amostral $s^2 = \frac{\sum y_i^2 - n\bar{y}^2}{n-1}$:

• Média das variâncias amostrais:
  
  
  $$E(s^2) = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} s_i^2 = \frac{269,3333}{20} \approx 13,4667$$
• Variância populacional de referência:
  
  
  $$S^2 = \frac{\sum_{i=1}^N (Y_i - \bar{Y})^2}{N - 1} = \frac{202}{15} \approx 13,4667$$
• Conclusão empírica: $E(s^2) = S^2$.

2. Demonstração Teórica de que $E(s^2) = S^2$

• Definição da Variância Amostral:
  
  
  $$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i \in s} (Y_i - \bar{y})^2 = \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i \in s} Y_i^2 - n\bar{y}^2 \right)$$
• Aplicação do Operador Esperança:
  
  
  $$E(s^2) = \frac{1}{n-1} \left[ E\left(\sum_{i \in s} Y_i^2\right) - nE(\bar{y}^2) \right]$$
• Expectativa da Soma dos Quadrados na Amostra: Utilizando a variável indicadora $I_j$ (onde $E(I_j) = \frac{n}{N}$):
  
  
  $$E\left(\sum_{i \in s} Y_i^2\right) = \sum_{j=1}^N Y_j^2 E(I_j) = \frac{n}{N} \sum_{j=1}^N Y_j^2$$
• Expectativa do Quadrado da Média Amostral: Sabendo que $\bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i \in s} Y_i$:
  
  
  $$nE(\bar{y}^2) = n \left[ V(\bar{y}) + (E(\bar{y}))^2 \right]$$
  Onde a variância da média amostral em AASs é $V(\bar{y}) = \left(1 - \frac{n}{N}\right)\frac{S^2}{n}$ e $E(\bar{y}) = \bar{Y}$.
• Substituição e Simplificação Algébrica:
  Desenvolvendo a expressão combinada com a variância populacional $S^2 = \frac{1}{N-1}\left(\sum Y_j^2 - N\bar{Y}^2\right)$, obtém-se diretamente:
  $$E(s^2) = S^2$$

• SILVA, Alan Ricardo da. Amostragem: teoria e aplicações. Brasília, DF: Clube de Autores, 2025.