Livro

Propriedade

Exemplo Aplicado

Fundamento Matemático (Por que funciona)

Produto de bases iguais

$a^x a^y = a^{x+y}$

$e^{-\theta x_1} e^{-\theta x_2} = e^{-\theta(x_1 + x_2)}$

Multiplicar fatores de mesma base equivale a somar a quantidade total de vezes que a base é multiplicada por si mesma.

Divisão de bases iguais

$\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$

$\frac{e^{\theta}}{e^{n\theta}} = e^{\theta(1-n)}$

A divisão cancela fatores correspondentes entre o numerador e o denominador, restando apenas a diferença no expoente.

Potência de potência

$(a^x)^y = a^{xy}$

$(e^{-\lambda})^n = e^{-n\lambda}$

Elevar uma potência a um novo expoente multiplica a quantidade original de fatores pelo número de vezes definido no novo expoente.

Potência de um produto

$(ab)^x = a^x b^x$

$(2\pi\sigma^2)^{-n/2} = (2\pi)^{-n/2}(\sigma^2)^{-n/2}$

A distribuição do expoente decorre da propriedade associativa e comutativa da multiplicação dos fatores originais.

Expoente negativo

$a^{-x} = \frac{1}{a^x}$

$e^{-\theta} = \frac{1}{e^\theta}$

Decorre da regra de divisão quando o numerador é 1 (ou seja, $a^0$): $\frac{a^0}{a^x} = a^{0-x} = a^{-x}$.

Propriedade

Exemplo Aplicado

Fundamento Matemático (Por que funciona)

Logaritmo do produto

$\ln(xy) = \ln(x) + \ln(y)$

$\ln(\theta e^{-\theta x}) = \ln(\theta) + \ln(e^{-\theta x})$

Sendo o logaritmo o expoente necessário para gerar um valor, multiplicar dois valores originais equivale a somar seus expoentes (comprovado pela regra 1 da potenciação).

Logaritmo do quociente

$\ln(\frac{x}{y}) = \ln(x) - \ln(y)$

$\ln(\frac{1}{\lambda}) = \ln(1) - \ln(\lambda) = -\ln(\lambda)$

Dividir valores equivale a subtrair seus expoentes (comprovado pela regra 2 da potenciação). A constante $\ln(1)$ é sempre 0.

Logaritmo da potência

$\ln(x^y) = y\ln(x)$

$\ln(\theta^n) = n\ln(\theta)$

Como uma potência é uma multiplicação repetida, o logaritmo dessa potência transforma-se na soma repetida do logaritmo da base.

Logaritmo e exponencial

$\ln(e^x) = x$

$\ln(e^{-\theta \sum x_i}) = -\theta \sum_{i=1}^n x_i$

O logaritmo natural ($\ln$) e a função exponencial de base $e$ são funções inversas. Aplicá-las em sequência anula a operação, restando apenas o argumento do expoente.

Logaritmo de produtórios

$\ln(\prod_{i=1}^n x_i) = \sum_{i=1}^n \ln(x_i)$

$\ln(\prod_{i=1}^n f(x_i\vert{}\theta)) = \sum_{i=1}^n \ln(f(x_i\vert{}\theta))$

É a generalização direta da propriedade do logaritmo do produto, aplicada iterativamente a $n$ fatores. Transforma multiplicações complexas em somatórias simples.